Definizione:
1. Con il simbolo 
dove n è un numero naturale e a un numero reale positivo indichiamo il numero reale positivo b che verifica l’uguaglianza 
2. Con il simbolo dove n è un numero naturale dispari e a un numero reale negativo indichiamo il numero reale negativo b che verifica l’uguaglianza
In sostanza, l’operazione di “estrazione di radice” è l’inversa di quella di elevamento a potenza, così come la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione.
Ad esempio, 9 è il quadrato di 3; quindi 3 è la radice quadrata di 9. Occorre stare attenti ai segni, come si vedrà tra poco. Vediamo di definire alcuni termini che vengono usati in questo contesto.
Il radicando è tutto ciò che si trova sotto il segno della radice (nel nostro caso, quindi, a).
n è detto indice del radicale
Il radicando può essere elevato a una qualsiasi potenza k, che verrà denominato esponente del radicando.
Che cosa possiamo trovare sotto il segno di radice? Sia numeri che espressioni, più o meno complicate.
Teniamo presente che:
• se la radice ha indice pari, il radicando (ovvero, il contenuto della radice) deve essere maggiore o uguale di zero.
• se la radice ha indice dispari il radicando può essere qualsiasi.
Esempi:
Sono calcolabili i seguenti radicali:
Non hanno significato in campo reale:
Radicali e numeri irrazionali
In Matematica si dice irrazionale un numero che non si può esprimere come rapporto di numeri interi. I numeri irrazionali hanno una rappresentazione decimale illimitata e non periodica.
Esempi di numeri irrazionali sono:
Non sono numeri irrazionali:
Potenze con esponente frazionario
Qualsiasi radicale può esprimersi sotto forma di potenza ad esponente frazionario,indicando come base quella del radicando e, per esponente, una frazione che ha al numeratore l’esponente del radicando, ed al denominatore l’indice di radice.
In simboli 
Proprietà dei radicali
Se la radice comprende un prodotto, o un quoziente, si può spezzare in due radici, dello stesso indice, separando i fattori, oppure separando dividendo e divisore.
Potenza di un radicale
Dovendo eseguire la potenza di un radicale, occorre elevare a quella potenza il radicando. Ovvero, fare la potenza di un radicale equivale a fare la potenza del contenuto del radicale (che rimane sempre sotto il segno di radice, ovviamente).
Se vi è un fattore esterno, il fattore esterno è elevato a potenza separatamente.
Operazioni con i radicali:
Addizione e sottrazione
Possiamo sommare o sottrarre radicali simili,cioè quei radicali che hanno stesso indice e stesso radicando.
Ma cosa sommiamo ? Sommiamo il coefficiente numerico dei radicali simili
Se il valore numerico si annulla, si annulla anche il radicale
Moltiplicazione e divisione
Possiamo moltiplicare o dividere , in modo molto semplice, i radicali che hanno lo stesso indice di radice.
Si includono i radicandi in un’unica radice, e si eseguono la moltiplicazione o la divisione.
Se le radici hanno indice diverso, la moltiplicazione o la divisione si può eseguire,
ma occorre dapprima calcolare il minimo comune indice (m.c.i.) come il minimo comune multiplo fra gli indici.
E poi eseguire l’operazione nel modo seguente:
si divide il valore del m.c.i. per l’indice della prima radice ed il quoziente ottenuto è la potenza al quale occorre elevare il radicando della prima radice, e così si procede con le altre radici, allo stesso modo.
Poi si procede con i calcoli: si possono sommare eventuali esponenti di basi uguali, ed eseguire eventuali semplificazioni. Nelle divisioni di radicali con indice diverso si procede allo stesso modo.
Radice di radice
Per eseguire quest’ operazione per un numero qualsiasi di radici presenti occorre trascinare, nelle radici più interne, i radicandi intermedi effettuando più operazioni del tipo “portare dentro” descritto in precedenza:
Radicali doppi
Radicali doppi sono quei radicali dove il radicando presenta la somma o la differenza di un numero con un’altra radice.
Essi sono spezzabili nella somma/differenza di due radici semplici, se e solo se è un quadrato perfetto.
Se la seconda radice presenta un fattore esterno, esso è compreso in b, per semplificarvi le operazioni, potete prima trasportarlo dentro la radice.
Esercizi:
Livello facile
√a+√a+√a
√a-2√a
√8+3√2+√32
(√3-1)(√3+1)
Livello medio
3√48+2√32+√98-(4√27+√450)
3√2+5√2-7√2
5√3+3√7-[2√3-(4√7-3√3)]
√75+3√18-2√12-2√50
Livello difficile
[(2√5+1)(2√5-1)-(√5-1)²-(√-4)²]:2
(4+2√2)²-(2√2-1)²-3(4√2+2)
3√128-2√72-(2√50+√8)
2√27/8+5√3/50+7√27/98-5√147/50
