I sistemi di equazione lineari

Definizione:
Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni di cui si cercano soluzioni che “vadano bene” contemporaneamente per tutte le equazioni presenti nel sistema stesso.
Questa argomento è di fondamentale importanza perché in moltissime applicazioni si devono risolvere uno o più sistemi per giungere ad un risultato. Le applicazioni che interessano a scuola sono essenzialmente legate allo studio dei punti di intersezione tra curve rappresentate in forma cartesiana.
Ma esistono moltissime altre applicazioni ed è stata sviluppata tutta una teoria al riguardo, facendo uso della cosiddetta notazione matriciale, che però a scuola, salvo rari casi, non si studia.
Vediamo di affrontare lo studio dei sistemi di equazioni di primo grado in due variabili (x e y).
Esistono 4 metodi di risoluzione che portano, ovviamente, allo stesso risultato e la cui preferenza dipende unicamente dall’esperienza che si matura con l’esercizio. Probabilmente, troverete più facile o simpatico un metodo in particolare, ma è opportuno imparare a usarli tutti, perché in alcune situazioni si è quasi obbligati a sceglierne uno solo, in quanto gli altri comporterebbero calcoli troppo lunghi.
Consideriamo intanto un sistema di due equazioni in due incognite:

Trovare le soluzioni del sistema vuol dire trovare i valori delle due incognite che soddisfino entrambe le equazioni. Ci sono quattro metodi di risoluzione:

• Sostituzione

• Confronto

• Addizione e sottrazione o combinazione lineare

• Cramer

Metodo di sostituzione

Questo è il metodo concettualmente più semplice, ma talvolta antipatico da applicare. Si risolve un’equazione rispetto a un’incognita e si sostituisce l’espressione trovata nell’altra. Adesso abbiamo un’equazione in una sola incognita e possiamo risolverla. Forse con un esempio si chiarisce meglio.

Le soluzioni sono quindi x = –1 e y = 1.

Metodo di confronto

Questo metodo è analogo al precedente. Si avvale del principio che se a = b e b = c, allora a = c. Si risolvono entrambe le equazioni rispetto alla stessa variabile, e poi si pongono uguali i secondi membri. Risolviamo il sistema di prima con questo metodo.

Metodo di addizione o sottrazione o di combinazione lineare

Questo metodo è concettualmente più difficile ma spesso risulta più semplice da applicare. Si moltiplica ogni equazione per un numero in modo tale che i coefficienti di un’incognita siano uguali nelle due equazioni. Per il principio di combinazione lineare, si può sostituire una delle due equazioni con la differenza fra le due equazioni. Mi spiego con un esempio.

Metodo di Cramer

Questo metodo non si può spiegare, perché è una conseguenza del calcolo matriciale. Però è comodo. È difficile da spiegare in teoria, spero che mi capirete con un esempio.

Si costruiscono tre determinanti di due righe per due colonne; il primo, Δ, contiene i coefficienti delle incognite; nel secondo, Δx, bisogna sostituire i coefficienti della x con il termine noto, e analogamente per Δy e y. In pratica:

Questi determinanti si calcolano in questo modo:

Quindi

Adesso abbiamo le soluzioni:

Il grado di un sistema:

Il grado di un sistema di equazioni algebriche intere è il prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono. Così come un’equazione di primo grado è anche detta lineare, un sistema di primo grado è detto sistema lineare. Un sistema lineare è formato soltanto da equazioni di primo grado.

I sistemi di tre equazioni in tre incognite:

In generale, si presentano in questa forma (la cosiddetta forma normale o ridotta o canonica):

Rispetto ai sistemi di due equazioni in due incognite, non presentano novità dal punto di vista concettuale.
L’unica differenza sta, essenzialmente, nei calcoli, che richiedono più tempo.
Anche qui si tratterà di trovare una soluzione, se esiste, data da una terna di numeri stavolta, e non più da una coppia: (x,y,z).

I Metodi di risoluzione
I metodi di risoluzione sono gli stessi che si sono già visto nel caso di due incognite; qui vedremo degli esercizi svolti con due soli di essi: il Metodo di sostituzione e il Metodo di Cramer.
Quest’ultimo presenta delle differenze importanti, perché richiede il calcolo di determinanti di matrici 3×3, che è ben più complesso dell’analogo calcolo nel caso 2×2.
Per quanto riguarda gli altri due metodi, confronto e riduzione, valgono le considerazioni e le procedure illustrate nel caso dei sistemi in due incognite.

Metodo di sostituzione
Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili, e portato il sistema nella forma ridotta (come sopra) si esplicita una delle tre equazioni rispetto ad una qualsiasi delle tre variabili, ossia si ricava un’incognita in funzione delle altre due (ad es. x in funzione di y e z), e la si sostituisce nelle altre due equazioni.
Ci si concentra, quindi, su queste due equazioni (in cui compariranno solo y e z) e si ricava un’incognita in funzione dell’altra (ad es. y in funzione di z).
Si sostituisce nell’altra equazione, che diventa una semplice equazione di primo grado in una sola incognita (z). Si risolve, trovando un valore numerico per z e da questo si “risale” sostituendo nelle altre e ricavando valori numerici anche per le altre due variabili.
Vediamo tutto questo con un esempio:

Ricavo y nella prima equazione e la sostituisco nelle altre due:


Per avere calcoli più semplici, divido per 7 la seconda e la terza equazione:

Ricavo x nella seconda equazione e la sostituisco nella terza equazione:

Avendo ora un’equazione di primo grado in z, la risolvo trovando un valore per z:

Ottenuto il valore di una incognita lo sostituiamo nella seconda equazione, nella quale l’altra incognita era stata messa in evidenza e poi risaliamo fino alla prima equazione, ottenendo i valori delle tre incognite x, y, z.

Nota bene: in questi ultimi passaggi i sistemi sono stati “compilati” dal basso verso l’alto.
Ogni volta che ottengo un valore per una variabile, “risalgo” e sostituisco il valore ottenuto nelle altre equazioni, fino a trovare un valore per tutte e 3 le incognite.

Attenzione: in questo sistema, la soluzione esiste ed è unica: si tratta della terna x=2, y=1, z=5.

Non si tratta di 3 soluzioni. Anche qui c’è un’interpretazione geometrica: la terna di valori definisce un punto nello spazio. Ma la geometria analitica dello spazio non viene studiata a scuola, quindi potete trascurare questo aspetto.

I sistemi determinati, impossibili, indeterminati:

Un sistema si dice determinato quando ha un numero finito di soluzioni. In particolare, si può dimostrare che un sistema lineare e determinato ha una sola soluzione. Inoltre, per determinare se un sistema è determinato oppure no, si ricorre al rapporto fra i coefficienti di x, a/a1, necessariamente diversi dal rapporto di y, b/b1. Nella rappresentazione sul piano cartesiano, il sistema determinato è rappresentato da due rette incrociate.

Un sistema si dice impossibile quando non ammette soluzioni. Per determinare se un sistema è impossibile oppure no si ricorre al rapporto fra i coefficienti di x, a/a1, uguali al rapporto fra i due coefficienti di y, b/b1, e tale rapporto è diverso dal rapporto fra i termini noti, c/c1. Nella rappresentazione sul piano cartesiano, il sistema impossibile è rappresentato da due rette parallele.

Un sistema si dice indeterminato quando ha infinite soluzioni. Per determinare se un sistema è indeterminato oppure no si ricorre al rapporto fra i coefficienti di x, a/a1, uguali al rapporto fra i due coefficienti di y, b/b1, e al rapporto fra i termini noti, c/c1. Nella rappresentazione sul piano cartesiano, il sistema indeterminato è rappresentato da due rette sovrapposte fra loro che, a prima vista, formerebbero una retta sola.

In sintesi:

a b —- —- sistema possibile a’ b’

a b c —- = —- —- sistema impossibile a’ b’ c’

a b c —- = —- = —- sistema indeterminato a’ b’ c’

Esercizi sullo svolgimento dei sistemi lineari:

Provate ora a svolgere questi esercizi, applicando quale dei metodi ritenete più opportuno:

Livello facile:

x – y=3 (soluzione: 6;3)

[

x + y=9

2x – 5y=7 (soluzione 16;5)

[

x – 3y=1

5x + y=20 (soluzione 4;0)

[

5x + 7y=20

2x – 4=3y (soluzione 19/2; 5)

[

4y – 1=2x

Livello medio:

8(x – y)+6(x+y) – 96=144 (soluzione 20;20)

[

x+y=40

3(x – 1) – 2(y – 1)^2 = 5 – 2y^2 (soluzione 2;1) N.B. ^2= alla seconda

[

6x(y – 1)+3(4 – 2x)=0

3(x – 1)+2(y+1) – 6 =5 (soluzione 2;3)

[

2(x+1) – 3(y – 1)=0

(x – 2)^2+(y – 1)(y+1)= x^2+y^2+3 (soluzione 0;4/3)

[

(x – 3y)(x+3y) – x^2+3y = 4 – 9y^2 – 2x

Livello difficile:

2(1 – 2x)/ 6 – 3y =1 (soluzione – 1;4)

[

x+y = 3

I sistemi letterali interi(risolti con il metodo di Cramer):

3x – y = 6a – 1 (2a;1)

[

x+2y = 2(a+1)

x+y = 3a (6a; – 3a)

[

2x+4y = 0

3ax+5ay+2a = – a (soluzione 9;6)

[

x+y =3

Consideriamo intanto un sistema di due equazioni in due incognite:

Trovare le soluzioni del sistema vuol dire trovare i valori delle due incognite che soddisfino entrambe le equazioni. Ci sono quattro metodi di risoluzione:

• Sostituzione

• Confronto

• Addizione e sottrazione o combinazione lineare

• Cramer

Metodo di sostituzione

Questo è il metodo concettualmente più semplice, ma talvolta antipatico da applicare. Si risolve un’equazione rispetto a un’incognita e si sostituisce l’espressione trovata nell’altra. Adesso abbiamo un’equazione in una sola incognita e possiamo risolverla. Forse con un esempio si chiarisce meglio.

Le soluzioni sono quindi x = –1 e y = 1.

Metodo di confronto

Questo metodo è analogo al precedente. Si avvale del principio che se a = b e b = c, allora a = c. Si risolvono entrambe le equazioni rispetto alla stessa variabile, e poi si pongono uguali i secondi membri. Risolviamo il sistema di prima con questo metodo.

Metodo di addizione o sottrazione o di combinazione lineare

Questo metodo è concettualmente più difficile ma spesso risulta più semplice da applicare. Si moltiplica ogni equazione per un numero in modo tale che i coefficienti di un’incognita siano uguali nelle due equazioni. Per il principio di combinazione lineare, si può sostituire una delle due equazioni con la differenza fra le due equazioni. Mi spiego con un esempio.

Metodo di Cramer

Questo metodo non si può spiegare, perché è una conseguenza del calcolo matriciale. Però è comodo. È difficile da spiegare in teoria, spero che mi capirete con un esempio.

Si costruiscono tre determinanti di due righe per due colonne; il primo, Δ, contiene i coefficienti delle incognite; nel secondo, Δx, bisogna sostituire i coefficienti della x con il termine noto, e analogamente per Δy e y. In pratica:

Questi determinanti si calcolano in questo modo:

Quindi

Adesso abbiamo le soluzioni: