I sistemi di equazioni di II°grado:
Mentre le equazioni di primo grado sono rappresentate graficamente da una retta, le equazioni di secondo grado sono rappresentate da una parabola.
Un sistema di equazioni di primo grado è rappresentato da due rette che si intersecano (a meno che non siano parallele, nel qual caso il sistema non avrebbe soluzione), e le coordinate del punto in cui si intersecano sono le radici (o soluzioni) del sistema. A stretto rigore, occorre considerare anche il caso in cui il sistema è costituito da rette linearmente dipendenti, ovvero tutti i coefficienti di una sono multipli, secondo un unico scalare, degli omologhi coefficienti dell’altra; in questo caso, il sistema è indeterminato (infinite soluzioni), poiché le due espressioni lineari rappresentano la stessa retta.
Un sistema di equazioni di secondo grado, invece, è rappresentato da una retta e una parabola, che possono essere:
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esterne quando la retta non incontra la parabola (in questo caso non ci sono soluzioni);
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tangenti quando la retta tocca la parabola in un solo punto, detto punto di tangenza (una sola soluzione o meglio due coincidenti);
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secanti quando la retta interseca la parabola in due punti distinti (le soluzioni sono le coordinate di questi due punti).
Il numero delle soluzioni è determinato dal Δ (delta o discriminante) dell’equazione di secondo grado risultante dal sistema delle due equazioni precedenti (previa opportuna sostituzione).
A seconda del Δ, infatti, abbiamo tre possibili situazioni:
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D>0 (delta positivo) Si ottengono due soluzioni distinte: i valori ottenuti sono le due ascisse o le due ordinate dei punti di intersezione.
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D=0 (delta uguale a zero) Si avrà un’unica soluzione (precisamente due coincidenti)
- Il valore ottenuto è l’ascissa o l’ordinata del punto di tangenza di retta e parabola.
- D<0 (delta negativo) In questo caso non ci sono soluzioni nell’insieme dei numeri reali (perché le soluzioni conterrebbero la radice quadrata di un numero negativo) per cui la retta e la parabola non si incontrano.
