Le equazioni di II°grado

Definizione:

Si dice equazione di secondo grado nell’incognita x ogni equazione del tipo:

ax²+ bx + c=0
con a0 (altrimenti sarebbe di primo grado…).

Questa è anche detta forma normale di un’equazione di secondo grado.
Dal punto di vista grafico (geometria analitica), risolvere un’equazione di secondo grado significa trovare le intersezioni, se esistono, della parabola di equazione
y= ax² + bx+ c con l’asse x (y=0), ovvero risolvere il sistema:

La formula risolutiva delle equazioni di secondo grado è data dalla seguente:

con cui è possibile determinare le radici dell’equazione, ovvero i valori che, sostituiti al posto della variabile x nell’equazione data, la rendono un’identità (0=0).
Come si vede, nella formula compaiono solamente i coefficienti dell’equazione in forma normale: noti questi, si calcolano immediatamente le radici dell’equazione.

Esiste anche una formula più semplice, detta formula ridotta, che vale solamente nel caso in cui il coefficiente del termine di primo grado, b, sia pari:

Quest’ultima formula si semplifica ulteriormente, qualora risultasse a=1.

L’espressione che compare sotto radice quadrata nella formula risolutiva:
viene chiamato discriminante (tra poco vedremo cosa “discrimina”) ed è generalmente indicato con la lettera greca(delta maiuscolo).
Per cui, d’ora in poi avremo: =.

IMPORTANTE
La formula risolutiva può essere applicata a qualsiasi equazione di secondo grado.
Risulta, però, più semplice risolvere le equazioni incomplete (quelle in cui b e/o c sono uguali a zero) ricorrendo alle regole note di scomposizione dei polinomi.
Tra poco daremo una classificazione delle equazioni incomplete.
Negli esempi vedremo in dettaglio come comportarsi in questi casi particolari, per evitare di ricorrere alla formula risolutiva che, ripetiamolo, porterebbe comunque al risultato (anche se in modo più macchinoso).
Le soluzioni di un’equazione di secondo grado dipendono dal valore del discriminante (il delta).
In particolare il segno del delta ci informa se le soluzioni sono reali o complesse e, nel primo caso, se sono distinte o coincidenti.

Per l’esattezza, ecco lo schema di riferimento:

>0: l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte date dalla formula risolutiva vista sopra.
=0: l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti della forma (basta porre b²- 4ac = 0 nella formula risolutiva):

<0: l’equazione non ammette soluzioni reali, ma ammette due soluzioni complesse coniugate.
Quest’ultimo caso, per adesso non ci interessa. Ci tornerà utile quando vedremo le disequazioni di secondo grado.

Intanto notiamo che quando 0, abbiamo soluzioni reali: distinte se è strettamente positivo, coincidenti se è nullo.
Per risolvere un’equazione di secondo grado, è, quindi, opportuno calcolare prima il discriminante, per verificare se l’equazione ammette o no soluzioni reali.
Notiamo anche che un’equazione di secondo grado ammette sempre due soluzioni (reali o complesse).